לקדם מצוינות
אנחנו שומעים שוב ושוב את הנימוקים בעד לימודי מתמטיקה – היא חשובה ללימודים ריאליים ולהצלחה בתעשייה ומתוך כך קשורה למשכורת עתידית, היא "ארגז כלים" חשוב לכל אדם והטיעון החמקמק והנפוץ – המתמטיקה מחדדת את המחשבה. לא אכנס לטיעונים אלו, שלתחושתי יש בהם חלקים נכונים יותר ופחות, ובנוסף לכך חלק מהטיעונים אינם בלעדיים ללימודי מתמטיקה.
לטעמי חשוב דווקא להקשיב לטיעונים נגד לימודי המתמטיקה, לא בהכרח על מנת לבטל את השיעורים הללו, (זה עלול להיות בבחינת "לשפוך את התינוק עם המים") אלא אולי על מנת לבחון, לקדם ולפתח את הוראת המקצוע.
ראשית יש להבחין בין מתמטיקה תיכונית – "לבגרות" למתמטיקה של בית הספר היסודי וחטיבת הביניים.
לטעמי, מה שנלמד עד וכולל חטיבת הביניים (אריתמטיקה, גאומטריה בסיסית ואלגברה בסיסית) הוא בעיקרון טוב, חשוב והכרחי. משהו שכדאי שכל אדם ידע וכנראה חלק ממנו יהיה לו שימושי.
אני לא מכיר מקצוע בית ספרי אחר שבו הצורך בשכבות הבסיס הוא כל כך משמעותי. בלימודי היסטוריה, למשל, לומדים על תקופות ואירועים רבים. אבל אם נשכח לגמרי את כל האימפריה הרומית, למשל, עדיין נוכל להבין לא רע את מלחמת העולם השנייה. במתמטיקה זה לא כך. המתמטיקה הרבה פחות סלחנית. קפצתם מעגלת המתמטיקה? חלפו שניותיים והנה נשארתם מאחור.
זה אחד ההסברים הנפוצים עבור הקושי שבמתמטיקה הבית ספרית. שמעתי סיפורים אישיים עגומים רבים, על אנשים שהגיעו למסקנה שמתמטיקה היא לא בשבילם, כאשר ברוב המקרים הסיטואציה הייתה דומה – בשלב זה או אחר התלמיד איבד לרגע את החומר, והמורה היה לא סלחן או לא סבלני ולא סייע לו להשלים. מאותו הרגע והלאה, השליטה במתמטיקה מעולם לא חזרה. חשוב להבין שבמתמטיקה המצב הוא כזה כל הזמן. גם במתמטיקה אוניברסיטאית. על כן, אם נוותר על המתמטיקה הטרום תיכונית, אפילו קצת, התלמידים יאבדו את זה, ונקבל מצב שבו אף אחד לא ידע שום דבר במתמטיקה ולא תהיה לאיש יכולת ללמוד מתמטיקה רצינית יותר, או פיזיקה, או כל תחום מדעי אחר שנזקק למתמטיקה, בלי השלמה שתהיה קשה מאוד לביצוע.
במתמטיקה תיכונית המצב שונה, מכיוון שאת רוב המתמטיקה הזו, מי שפונה למקצוע ריאלי, לומד ממילא מחדש ברמה גבוהה יותר בהמשך.
ואכן, רוב הדיונים בד"כ מתמקדים בשאלה למה צריך ללמוד מתמטיקה לבגרות? ועוד - למה צריך ללמוד דווקא 5 יחידות מתמטיקה לבגרות ולא לקחת את המינימום ההכרחי?
רוב המאמרים שיצא לי לקרוא הנוגעים לפולמוס המתמטיקה הם חד משמעית נגדה, לעתים עד כדי דמוניזציה גמורה. התקציר של דעתי על כלל המאמרים הללו הוא פשוט: הם שופכים את התינוק עם המים.
בבירור יש בעיה קשה מאוד עם לימודי המתמטיקה בבית הספר, אך המאמרים הללו נוקטים בפתרון הפשוט והעצל של "אז בואו לא נלמד מתמטיקה!" וחסל, במקום לשאול את השאלות החשובות יותר – האם אפשר לשנות את חומר הלימוד? האם שיטות ההוראה או המורים צריכים להשתנות? האם מדובר במחסור בעזרים חיצוניים? וכו'. על כל השאלות הללו אפשר לכתוב כתבה נפרדת, וגם את זה אולי אעשה. בינתיים בואו ננסה לראות כמה דוגמאות למאמרים אנטי-מתמטיים.
לפני שנתחיל, אני רוצה לסנגר עליהם קצת. המאמרים הללו לא מגיעים מאנשים עצלים או טיפשים. הם מגיעים משילוב של שתי בעיות:
1. המתמטיקה הבית ספרית, כפי שהיא נלמדת כרגע, היא קשה ומייאשת עבור תלמידים רבים.
2. המתמטיקה מצוירת ביותר מדי מקומות בתור "כרטיס כניסה" לחיים, מה שגורם לאנשים לחוש צורך לציין ש – היי! אפשר להיות בן אדם מתפקד ומועיל לחברה גם בלי מתמטיקה (מפתיע!).
אלו שתי בעיות רציניות, ורוב המאמרים מעלים אותן, אבל זה איכשהו מתערבב בביקורת כללית על המתמטיקה (שבחלק מהמקרים הכותבים כנראה לא מכירים ממש).
הטיעון הנפוץ ביותר הוא שלימודי מתמטיקה עלולים לפגוע בחלק מהתלמידים, יותר מהפגיעה שעלולה להיווצר בכל תחום אחר. נועה אסטרייכר, במאמרה, עוסקת בסבל הפרטי שלה מלימודי המתמטיקה: "הפסקתי להבין חשבון קצת אחרי שסיימנו ללמוד את לוח הכפל…אולי הוראה מתקנת או תשומת לב נוספת לילדה שנשרכת מאחור היו עוזרות לי לעלות שוב על השביל, אבל במקומם נתקלתי בחומה של בוז: חשבון זה קל, ומי שלא מבין אותו – הוא כנראה טיפש מכדי שיעכבו לכבודו את שאר הכיתה... למרות ההצלחה שלי במקצועות רבים בתיכון, המסר שקיבלתי היה ברור: את לא שווה כלום בלי מתמטיקה". לבסוף היא קוראת לביטול הבגרות "הדבר הכרחי לשימור וטיפוח יכולותיו האחרות של התלמיד, במקום להשמיד אותן תחת מכבש הלחצים המתמטי אשר לא מועיל בדבר".
רוחמה אלבג קוראת במאמרה לבטל את הבגרות, ומדברת על "החרדה המתלווה לבחינה, התסכול והאימה", ומתארת כי "שיעורי המתמטיקה עיקרו את נפשי. כמעט עזבתי את התיכון, ולא הייתי היחידה". במאמר אחר, טוענת אור סגל ש"בשיעור המתמטיקה הראשון בשנה, המורה הודיעה שכדי להצליח בחמש יחידות צריך 'לאפסן את החיים בקופסה'". וספיר ליפקין כותבת ש"לגרום לתלמידים שלא ניחנו בגישה למתמטיקה להזיע מעל דפי התרגול ולבזבז שעות מזמנם בסבל, במקום לעודד אותם להתפתח בתחומים שהם מוכשרים בהם זו פשוט התעללות".
הבנתם את העניין. בכל המקרים הללו הכותבים מדברים בעיקר מתוך החוויה האישית השלילית שלהם, ואני חושב שהחוויה הזו אכן מתארת את התחושה של רבים מאלו שמתמודדים עם מתמטיקה בית ספרית. אפשר להגיד שזה המצב ביחס לכל מקצוע בית ספרי, אבל זה לא נכון; אנחנו לא באמת רואים כל כך הרבה מאמרים שמתלוננים על ספרות בצורה שכזו, למשל. ואני באמת, באמת רוצה להבין למה. מה הופך את המתמטיקה לכל כך מפלצתית. למה חווית הלמידה הזו כל כך נוראית לתלמידים?
בחלק מהמאמרים שקישרתי אליהם מדברים על כך שאין לכל האנשים "ראש ריאלי" או "חשיבה מתמטית" או מה שזה לא יהיה שמאפשר לאדם להתמודד עם מתמטיקה תיכונית. האם זה אומר שאנשים אלו לא יכולים להבין חידות ורעיונות הקשורים למתמטיקה כמו חידת חישוב שטח המשולש שהבאתי במאמר במגזין זה או את הבעיה של מונטי הול, או את גניבת האסטרטגיה של צ'ומפ, או אפילו את המלון של הילברט? קראו לי נאיבי, אבל אני מאמין שאת הדברים הללו יכול להבין גם אדם שמעיד על עצמו שאין לו "ראש מתמטי" כלל. אני מאמין שלרובנו (למעט מקרים קיצוניים באמת) יש יכולת בסיסית להבין רעיונות מתמטיים ואולי אפילו לעשות איתם דברים. זה לאו דווקא כיף ומעניין אותנו, אבל היכולת קיימת.
האם היכולת הזאת רלוונטית למה שעושים בבית הספר? או שבבית הספר עושים משהו מאוד ספציפי (כפי שכתבתי כאן), שדורש דרישות אחרות מאשר דורשת מתמטיקה "אמיתית" (דרישות שהן אכן תובעניות מדי עבור אנשים רבים)?
אני מאמין שהיכולת הזאת, שהיא הבסיס למתמטיקה "אמיתית" היא חשובה. לכן אני חושב שהביקורת של "תשאירו את המתמטיקה רק לאנשים שיש להם את הראש לזה" מפספסת. לפני שזורקים את המתמטיקה לפח, צריך לחשוב האם היא חייבת להילמד במתכונת שמוציאה החוצה כל כך הרבה אנשים.
ונקודה למחשבה – אני לא בטוח שהבעיה אכן טמונה תמיד בכך שאין לאנשים "ראש מתמטי" או במה שהזכרתי קודם – בכך שמתמטיקה היא מקצוע שכל כך קל לאבד אותו בלי סיכוי לחזור לעניינים.
טיעון נוסף בעד ביטול חובת המתמטיקה הוא ש"הטובים" ממילא יגיעו למתמטיקה. אפשר לראות אותו, למשל, במאמר של גיל גרטל: "כשם שהמתאימים לטיס מוצאים את דרכם להיות טייסים מעולים גם ללא שהיו בהקבצה א' לטיס בבית הספר היסודי, כך ימצאו לנו המתמטיקאים הדגולים, שיטיסו את האנושות קדימה".
זה טיעון בעייתי משתי סיבות. ראשית אנחנו לא רוצים רק את "הטובים". אין מספיק "טובים". אנחנו צריכים הרבה יותר אנשים, גם כאלו שלא יצליחו למצוא את דרכם לבד. שנית, וחשוב יותר, אם אדם כלל לא נחשף למתמטיקה – כלל לא מבין שהתחום קיים, או מקבל עליו רושם שגוי – הסבירות שיפנה אליו תקטן. טיעון דומה קיים גם בספרות, ושם הוא חזק אף יותר – מבלי להיחשף למגוון רחב של יצירות וז'אנרים, איך התלמיד ידע עצמאית מה לחפש? הוא אפילו לא ידע שמשהו חסר לו. אנחנו יכולים אולי להגיד שוב ושוב לתלמיד שמתמטיקה זה מגניב (אבל בפועל מי אומר את זה? טוב, אני מנסה לומר את זה כאן, ואני מקווה שמצליח, אבל קשה לומר שזה מייצג) אבל האם זו חשיפה מספקת למתמטיקה?
כמובן – לא ברור שתוכנית הלימודים הנוכחית במתמטיקה מספקת את החשיפה הנכונה. וכך, מה שאמור היה להיות ביקורת (טובה), על תוכן הוראת המתמטיקה, הפך לביקורת על עצם לימוד המתמטיקה.
טיעון דומה, ונפוץ ביותר, הוא שרוב התלמידים לא צריכים מתמטיקה. בלשונו של גרטל, "מתמטיקה, כמו כל תחום אחר, צריכה להילמד בבית הספר עד רמת הצורך של הלומדים. אצל הרוב המכריע של הילדים מסופק צורך זה במהלך בית הספר היסודי, ואין צורך שמתמטיקה תהיה המקצוע הכי חשוב במערכת החינוך, כמקצוע חובה מעבר לחטיבת הביניים. כמה מאזרחי ישראל חפפו לאחרונה משולשים, חקרו פונקציה ופתרו משוואות דיפרנציאליות? התשובה ברורה, אחוזים בודדים בלבד". (אגב, כמתמטיקאי - אני לא חפפתי משולשים וחקרתי פונקציות מאז התיכון, ומשוואות דיפרנציאליות פתרתי רק בקורס העוסק בכך).
זו בדיוק גישת "המתמטיקה היא ארגז כלים" שמשמשת לעיתים קרובות כנימוק בעד לימודי מתמטיקה. גרטל אולי צודק בקשר לנחיצות של הידע המתמטי מעבר ליסודי (למרות שלהבנתי גם המידע מחטיבת הביניים הנו חשוב). אבל אם נחשוב על זה קצת, המתמטיקה היא לא היחידה שאינה שימושית בהכרח: רוב מקצועות החובה לבגרות, למעט אזרחות ואנגלית אינם ממש שימושיים. האם הכרת הסיבות לעליה השנייה מסייעת לנו ביום יום, למעט בוויכוחים אינטרנטיים (ותאמינו לי, גם ידע מתמטי יסייע לכם בוויכוחים אינטרנטיים, אתם רק צריכים למצוא את המקום הנכון להתווכח בו)? ודין שור שנגח? והכניסי תחת כנפך? הבנתם את הרעיון. שימושיות היא לא מדד טוב למקצועות החובה לבגרות, בטח לא שימושיות של חומר לימוד ספציפי כמו חפיפת משולשים.
אז מה צריך לעשות?
הפתרון הקל הוא לומר "לבטל את חובת הבגרות במתמטיקה ולהשאיר רק מתמטיקה חמש יחידות בתור מקצוע בחירה". זה יציל את כל שונאי המתמטיקה מלסבול בגללה בתיכון ולהרגיש שהם חסרי ערך כי אין להם בגרות במתמטיקה (ולכן אין להם בגרות בכלל).
אבל האם זה באמת פתרון? זה לא ישנה את מעמדן של חמש יחידות מתמטיקה בתור "כרטיס כניסה" לחיים, או לפחות למעמד סוציואקונומי מסויים. האוניברסיטאות ימשיכו לתת בונוס למי שיש לו בגרות במתמטיקה (ובצדק, מבחינתן). מי שהיו ניגשים לשלוש יחידות בגרות כנראה יוותרו ברובם על המקצוע, וככל הנראה יהיה להם קשה להשלים אותו אחר כך אם יצטרכו והאחרים יעברו למה שהיום הוא חמש יחידות ויהיה להם קשה שם. בקיצור, קשה.
האפשרות האחרת היא להפוך את לימודי המתמטיקה התיכונית ליותר נגישים, למשהו שרוב התלמידים יכולים להתמודד איתו בלי טראומה. יש כאן שני דברים לפחות שיהיה צורך לטפל בהם: הראשון הוא חומר הלימוד של המתמטיקה התיכונית עצמה (שעליו כתבתי כאן וכאן), אבל השני הוא החשוב יותר לדעתי –הכרחי להבטיח שתלמידים לא מגיעים לתיכון כשהם כבר "שרופים" מבחינת המתמטיקה ולא מסוגלים להתמודד עם איזה חומר שלא יהיה שנזרוק עליהם. כפי שאמרתי קודם, שריפה כזו יכולה לקרות בכל שלב, בגלל תלמידים שמאבדים את החומר לרגע ואז לא מצליחים להשלים אותו יותר. איך?
על כך כתבתי בכתבת המשך, כאן.
--
הכתבה הינה חלק מפוסט שהופיע לראשונה בבלוג לא מדוייק.
