"משעמם! נמאס כבר לשמוע על זה!" זוהי תגובה אופיינית שתקבלו ממורים בתשובה לשאלה האם כדאי להשתמש באקסל או בכלים דומים לו בהוראת המתמטיקה. אכן, הרבה מילים כבר נאמרו, שלל מאמרים וספרים נכתבו על יתרונות הכלי שפותח לפני 34 שנה, ומורים רבים פיתחו ושיתפו ברבות השנים שלל פעילויות באקסל שנשמרו ברשת. למרות זאת, לא נעשה שימוש משמעותי בכלי בהוראה כיתתית. לאורך השנים, אפליקציות גיאומטריות כמו גאוגברה ודסמוס שולבו בהוראה ודחקו הצידה את השימוש באקסל.
אולם לאקסל יש יתרונות גדולים: אנשים רבים, כולל מהנדסים, חוקרים ואנשי עסקים משתמשים בו בעבודתם, וניתן לעשות בו שימוש מאוד מתוחכם, כולל שימוש באלמנטים של תוכנה. שימוש באקסל על ידי תלמידים מחבר אותם לדרך בה מבצעים אנשים רבים את עבודתם. בשנים האחרונות הצטרפו להוראת המתמטיקה מורים שעשו כברת דרך בתעשייה או בעולם האקדמאי, השתמשו בכלי הזה ולעיתים אף אהבו אותו. למשל, מורה שעבר מהייטק להוראה מספר שהוא משתמש בכלי דומה להדגים לתלמידיו את האפקט המרהיב של "קבוצת מנדלברוט".
קבוצת מנדלברוט
מורה אחר מספר על שימושים מגוונים שהוא עושה באקסל, כולל הדגמת מושג הגבול באמצעות סדרות. מורים אלו מעלים שוב את הסוגייה, ובראיונות עימם עלו רעיונות חדשים לשילוב אקסל בהוראה, ובעיקר דרכים לאפשר לתלמידים להתנסות בעצמם בשימוש בכלי זה. לכבוד המורים בעלי המוטיבציה הללו ותלמידיהם נספר למה בכל זאת כדאי להשתמש באקסל בהוראה?
- השימוש באקסל מאפשר להציג בעיות אותנטיות שמהנדסים וחוקרים מתמודדים איתן בעבודתם לצורך השראה, הוראה, ולפעמים אפילו כהכנה לפעילויות מחוץ לכיתה. במחקר שנעשה בטכניון, מצאנו שניתן להמיר שלל בעיות אותנטיות מעניינות מעולם ההייטק לצורכי הוראה מתמטית בחטיבת הביניים ובתיכון. מהנדסים שרואיינו סיפרו שהם בונים לעיתים בשלבים הראשונים של התכנון מודלים מתמטיים פשוטים של הבעיה ההנדסית באמצעות אקסל. המודלים בנויים מסט של נוסחאות אלגבריות די פשוטות, וההבדל המרכזי ביניהם לבין משוואות הנוצרות בעת פתרון בעיות מילוליות בהוראת המתמטיקה הוא שמציאת הפתרונות וחקירתן נעשית בעזרת הכלי, ולא באופן ידני כמו בשיעורים. הרעיון הוא לבחור בעיות אותנטיות מעולם ההנדסה והמחקר שהמורים מתחברים אליהן ותלמידיהם יכולים למצוא בהן עניין רב, לפשטן, למשל באמצעות שימוש באנלוגיות, לשלבן בהוראה, ולתת לתלמידים להתנסות בשימוש באקסל לצורך חקירתן, ממש כמו שהמהנדסים בשטח עושים.
מהנדס עייף שראיינתי העלה רעיון יצירתי שנחקק בזיכרוני: "אני עובד כל היום על האקסל הזה! אולי אפשר לגייס תלמידי תיכון ששולטים באקסל כדי לעזור?". רעיון זה מוביל להרהור, כנראה קצת אוטופי: האם ניתן ללמד תלמידים להשתמש באקסל, כך שהם יוכלו וירצו להשתמש בכלי בפעילויות מחוץ לכיתה, כולל עבודה עם מהנדסים?
לינק להשראה: במאמר מפורסם בנושא מידול מתמטי סופר על קבוצת תלמידים בגרמניה שפתרה בעיה אותנטית על הצבת ממטרות בגינה במיקום אופטימלי, והפיתוח שלהם נעשה בסיוע אקסל.
- השימוש באקסל יכול לסייע בכניסה לעולם התוכנה: בימינו מתקיימים דיונים רבים על החשיבות של לימודי תוכנה בגיל צעיר, ונעשים ניסיונות לפתוח כלים ייעודיים לשם כך. פיתוח תכנים באקסל יכול לשמש כהכנה טובה ללימוד תוכנה. הסיבה היא שעקרונות רבים של תוכנה חבויים בכלי זה, אפילו בשימוש הבסיסי שלו. להלן מספר דוגמאות: בדומה לשפות תכנות יש באקסל שימוש במשתנים גלובליים ($A$1) ומקומיים (A1), שימוש בהתניות (IF), פונקציות שונות כולל וקטוריות (sum) וההברקה הגדולה מכולן: שיטת הגרירה עם ידית המילוי המקבילה לביצוע לולאות ("for loop") בתוכנה. אופציות אלו מאפשרות פיתוח מודלים חכמים, ומדגימות מספר עקרונות בסיסיים בתכנות. אולם לשם כך, יש צורך לאתגר את התלמידים לפתח בעצמם או לשנות משוואות באקסל, ולא רק לשנות ערכים מספריים.
- השימוש באקסל מסייע לחקור את ההתנהגות של סדרות: במחקר שנעשה בטכניון בו אספנו בעיות אותנטיות מההייטק, גילינו שחלק נכבד מהבעיות המעניינות ניתן לייצוג מתמטי באמצעות סדרות. עובדה זו לא מפתיעה במיוחד שכן אנו חיים בעולם דיגיטלי, והמכוניות שעל המסך במשחקי מחשב לא נעות באמת ברציפות, אלא מתקדמות בכל מחזור שעון מספר שלם של פיקסלים. השימוש בשיטת הגרירה עם ידית המִלּוּי באקסל מאפשר לבנות בקלות סדרות שונות, כולל סדרות רקורסיביות, וסדרות דו-מימדיות. השימוש בנוסחאות רקורסיביות ("נוסחאות נסיגה") מאפשר לחקור סדרות מגוונות, החל מסדרה חשבונית, הנדסית, פיבונאצ'י, סדרות שלא מתכנסות כמו סדרה הרמונית ועד לסדרות מפתיעות שלא ניתן לנתחן באופן אנליטי ויש להן התנהגות כאוטית. בנוסף, שימוש בנוסחאות רקורסיביות מאפשר לבנות מודלי סימולציה באקסל, למשל לצורך חקירת המסלול של כדור ביליארד שנע ופוגע שוב ושוב בדפנות השולחן.
סימולציית כדור ביליארד על שולחן
- השימוש במחולל מספרים אקראיים (RAND) באקסל מסייע בהבנת וחקירת בעיות בהסתברות: בהרבה מקרים קשה לבצע ניתוח אנליטי של מערכות הכוללות התנהגות אקראית. לשם כך מבצעים סימולציות הכוללות דימוי של הגרלת מספרים אקראיים, מה שנקרא "סימולציית מונטה קרלו". אקסל תומך בכך באמצעות פונקציות שונות כמו RAND שמחזיר מספר רנדומלי בין 0 ל-1 והפונקציה (RANDBETWEEN (n,m שמחזירה מספר אקראי שלם בין n ל-m. שימוש באקסל חושף את התלמידים לתחום שימושי זה, ומאפשר לפתח אינטואיציה בעת לימודי הסתברות.
לדוגמה: מה הסיכוי שבהטלת שתי קוביות סכום התוצאות יהיה 7? במקום לחקור זאת באמצעות טבלת אפשרויות, שגם אותה ניתן לבנות באמצעות אקסל, נעשה סימולציה של זריקת קוביות. הנוסחה המובאת כאן מתארת ניסוי שבו זורקים שתי קוביות. אם סכום התוצאות הוא 7, רושמים אחד במחברת, אחרת - אפס:
=IF(RANDBETWEEN(1,6)+RANDBETWEEN(1,6)= 7,1,0)
נחזור על הניסוי, למשל 500 פעמים על ידי גרירת התא באמצעות ידית המילוי. לפעמים נראה אפסים ולפעמים אחדות. לבסוף נבדוק מה אחוז הפעמים בהן נכתב הערך אחד באמצעות פונקציית AVERAGE, ונקבל תוצאה הקרובה לתיאוריה (=שישית מהמקרים). אכן, זאת דרך מעניינת לפתור תרגילים פשוטים בשיעורי מתמטיקה.
- אקסל מאפשר לחקור, לפתור ולוודא פתרונות בדרך שונה מהנהוגה בהוראה פורמלית: אני נזכר שבזמן שלמדתי הוראת מתמטיקה בטכניון, אחרי שנים של עבודה בהייטק והתנסות באקסל, נזרקה שאלה בהרצאה, משהו כמו: "כמה מספרים מ-1-100 גם מתחלקים ב-4, וגם נותנים שארית אחד בחלוקה ל-3?". באופן כמעט אינסטינקטיבי, כתבתי עם חברי שגם הוא מהנדס, נוסחה באקסל שנותנת ערך "1" אם התנאי מתקיים (ראו למטה), גררנו אותה 100 פעמים, ספרנו (באמצעות SUM) כמה אחדות היו, וקיבלנו תשובה מספרית אחרי כדקה.
=((MOD(ROW(),3)=1)*((MOD(ROW(),4)=0)
תשובה זו כמובן לא נותנת הבנה על הנושא אבל יכולה לוודא את התשובות המתקבלות בניתוח עמוק יותר. אכן אקסל הוא כלי המאפשר חקירה וגם בדיקה של תוצאות חישוב.
- השימוש באקסל מאפשר לנתח נתונים מהעולם האמיתי ולהציג אותם בצורה ויזואלית יפה: אקסל ידוע בתור הכלי הסטנדרטי לניתוח נתונים והצגתם. נושא זה מתאים ללימודי מבוא לסטטיסטיקה (ממוצעים, חציון, היסטוגרמות, וכולי) הנלמדים למשל בכתה ח', אבל הוא יכול לשמש את התלמידים בהרבה תחומים, כולל בפעילויות העשרה, או אפילו לעזור להורים לנהל את החשבונות בבית.
ראינו שיש יתרונות גדולים לאקסל. מורים בעלי מוטיבציה מוזמנים להנגיש אותו לתלמידיהם, ולתת להם אפשרות לרכוש עוד כלי חשוב בחיים. נשמח לתגובות ולשיתוף עוד דוגמאות שיתנו מוטיבציה.
סייעו בהכנת המאמר: אסי דביר, אבי נתן, אילן בארי ובועז ברגר
