תלמידי תיכון כולם זכאים להיחשף לנפלאות המתמטיקה בת זמננו. האומנם?

שאלות שלא מוכרחים להשיב עליהן

מתי בפעם האחרונה נודע לכם על חידושים כלשהם במתמטיקה? מתי בפעם האחרונה נודע לכם על מתמטיקאי שעשה פריצת דרך? מתי בפעם האחרונה שיתפתם את תלמידיכם בדברים כאלה?

המתמטיקה היא תחום פתוח, מתפתח בהתמדה, מאתגר, שימושי ומפתיע, המשרת את הקידמה האנושית ממנה כולנו נהנים, אך האם לימודי המתמטיקה בבית הספר משקפים זאת? 

זאת ועוד, האם המתמטיקה של בית הספר חושפת את התלמידים למרכיבים האופייניים לעבודת המתמטיקאים, המצטיינת בסקרנות, אומץ אינטלקטואלי, התמדה וחתירה ללא לאות לפתרון בעיות חדשות או כאלו שעומדות שנים רבות ללא פתרון, ו"על הדרך" - לגלות תוצאות נוספות, צפויות כמו גם בלתי צפויות?

רק רגע, האם יש בכלל חדשות במתמטיקה?
בניגוד לתחושה הרווחת בציבור, שבמתמטיקה הכל כבר ידוע ולכל בעיה יש פתרון, המציאות היא ממש הפוכה. בעיתונות המתמטית המקצועית, הכוללת כ-550 כתבי-עת, מתפרסמות למעלה מ-100,000 חדשות בכל שנה. הן מתווספות לידע המתמטי שאיננו מתיישן ולא נס ליחו, בין אם הוא פרי יצירתם של מתמטיקאים כמו אוקלידס, פיתגורס, או ארכימדס, שחיו לפני אלפי שנים ובין אם הוא תוצאה שהגיעו אליה מתמטיקאים בני זמננו רק לאחרונה, כגון: גילוי של אפשרויות לריצוף באריחים אחידים שצורתם איננה משולש, ריבוע או משושה, אלא מחומש (לא משוכלל); איתור של מספרים ראשוניים ענקיים וההתפתחות המואצת של ההצפנה המודרנית כתוצאה מכך; יישומים מדעיים לטבעת מביוס (הטבעת הנוצרת מפס שמפתלים אותו לפני ההדבקה של הקצוות); ויש גם התמודדות ארוכה ומתמדת עם בעיות שטרם נפתרו. למשל, אחת הבעיות הפתוחות מזה מאות שנים, היא ההשערה שבניגוד לאינטואיציה, יש אינסוף מספרים ראשוניים עוקבים, כלומר אין סוף לזוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא בדיוק 2 (כגון: 13;11, 19;17), אבל הוכחה לכך עדיין לא נמצאה וגם לא הוכח ההיפך. ב-13 במאי 2013, הוכח שיש אינסוף זוגות של ראשוניים שההפרש ביניהם הוא לכל היותר 70 מיליון (זה מספר גדול אבל סופי בכל זאת). חצי שנה אחר כך הוקטן ההפרש המוכח ל-600; כעבור חצי שנה נוספת הועמד ההפרש על 246. כמה זמן ייקח עד שההפרש יצטמצם ל-2, כלומר, עד שההשערה תוכח?- את זה רק העתיד יגיד...

 האם יש חדשות במתמטיקה?! בהחלט כן!

הבעייה
הקשת הרחבה של התוצאות המתמטיות הידועות כיום וטבעה המצטבר והבלתי מתיישן של המתמטיקה, תורמים לפער ההולך וגדל בין המתמטיקה הנלמדת בבית-הספר לבין המתמטיקה בת זמננו.  אך הפער בין המתמטיקה של בית-הספר לבין המתמטיקה בת-זמננו איננו היחיד. קיימים פערים גם בין היכולת הנחוצה להבנת המתמטיקה העכשווית לבין היכולת הקיימת אצל תלמידי תיכון; בין הזמן הנדרש מהמורה להבנת הדברים לעומקם לבין הזמן העומד לרשות המורה להכין יותר מ-24 שיעורי מתמטיקה בכל שבוע; בין הזמן הנדרש מהתלמיד להבנת הדברים לעומקם לבין הזמן המוקצה להוראה וללימוד של תכנית הלימודים המחייבת; וגם בין הדימוי של המתמטיקה והמתמטיקאים בעיני התלמידים לבין המציאות. את הפער האחרון הגדיל לתאר ליאון הנקין, לוגיקן ואיש חינוך בן המאה העשרים:

"אחת התפיסות השגויות הגדולות ביותר
שאנחנו מנציחים בבתי הספר
היא שהמורה למתמטיקה יודע את התשובה לכל שאלה.
בכך התלמידים מקבלים רושם שבאיזשהו מקום קיים ספר
שבו מופיעות כל התשובות הנכונות לכל השאלות המעניינות,
ושהמורים יודעים את התשובות הללו,
ואם מישהו רק יוכל לשים את ידו על הספר הזה,
הוא יהיה מסודר.
זה עומד בניגוד מוחלט לאופייה האמיתי של המתמטיקה."
(Leon Henkin, in: Steen, L. A., & Albers, D. J., 1981)

מה הן ההשלכות של הדימוי המוטעה?
מרבית התלמידים מסיימים את לימודיהם בבית-הספר עם תחושת מיאוס מהמקצוע מתמטיקה ועם דימוי שלילי באשר ליכולותיהם להתמודד אתו או לספק דרכו את הסקרנות והיצירתיות שלהם. מעטים מדי מבוגרי-המערכת רואים במתמטיקה תחום שיש להם בו עתיד עם אפשרות לתרומה וליצירה. המחסור במתמטיקאים טובים באוניברסיטאות וּבּבַעלי השכלה מתמטית או תלוית-מתמטיקה בתעשייה הולך וּמעמיק, דבר היוצר בעיה כלכלית, חברתית וּלאומית בישראל (כמו בארצות רבות אחרות).

האתגר
בפני מערכת החינוך עומד אתגר עצום – גישור הפערים הללו ושינוי התפיסות לגבי המתמטיקה, באמצעות חשיפת תלמידי תיכון להתרחשויות עדכניות בתחום המתמטיקה, ללא פגיעה בעמידה בלוח הזמנים של הוראת תכנית הלימודים המחייבת; ללא פגיעה בהישגי התלמידים בלמידתה; ללא העמסת-יתר על עבודת המורה וחרף הקושי הנובע מהיעדר רקע מתמטי מספיק של התלמידים ולעיתים גם של המורים, העמוסים בלאו הכי בהוראת החומר ובהכנה לבחינות הבגרות של תלמידיהם, דבר שלא משאיר בידיהם זמן לעקוב אחר ההתפתחויות אף כי הן מרתקות לכל הדעות.

הצעה לפתרון: גישור על הפערים באמצעות שילוב הבזקי חדשות מתמטיות בשיעורי המתמטיקה
הנה תקציר בנקודות של הרעיון (ולמעוניינים בהרחבה הנה קישור למאמר שבו ניתן אות הפתיחה לפרויקט הבזקי חדשות במתמטיקה):   

• חדשה מתמטית היא חלק מידיעה שפורסמה בעיתונות המתמטית המקצועית ב-30 השנים האחרונות.
• הבזק הוא מצגת של 15-20 דקות, המציגה חדשה מתמטית מסוימת, את המתמטיקאים המעורבים ביצירתה, את הרקע ההיסטורי שלה, ובמידת האפשר את שימושיה ויישומיה.
• גישור על הפערים הנזכרים לעיל מתבצע על ידי בניית ההבזק, כך שהוא לוקח בחשבון את מגבלות הידע הקודם של התלמידים. למעשה, התלמידים מוזמנים  ל"שייט בסירת זכוכית" על פני מעמקי האוקיינוס המתמטי, להתרשם מהרב-גוניות, מהחיים השוקקים בו, מהשימושים והיישומים ההופכים את המתמטיקה לציר מרכזי של התרבות בת זמננו, וכל זה מבלי "לטבול את ידיהם במים" (המטאפורה היא פרי עטה של בתיה עמית, במהלך עבודתה על דוקטורט בנושא). התלמידים נקראים להקשיב לסיפור על אודות חדשה מהמתמטיקה בת זמננו, מבלי להתמחות בנושא. אלה שימצאו עניין יוכלו להמשיך ולהעמיק בדברים בכוחות עצמם, בהנחייה אישית של המורה למתמטיקה. האחרים יתבשמו ויצברו התרשמויות שיתווספו זו אל זו בהתמדה במשך שלוש שנים.
• שילוב הבזקי החדשות מוצע לביצוע של המורה הרגיל למתמטיקה בתדירות של אחת לחודש, בשיעור מתמטיקה רגיל, בכל הרמות ולכל שכבות הגיל בחטיבה העליונה.

התלמידים מוזמנים  ל"שייט בסירת זכוכית" על פני מעמקי האוקיינוס המתמטי, להתרשם מהרב-גוניות, מהחיים השוקקים בו, מהשימושים והיישומים ההופכים את המתמטיקה לציר מרכזי של התרבות בת זמננו, וכל זה מבלי "לטבול את ידיהם במים"

מה עשינו עד היום, מה השגנו ומה עוד לפנינו? 
פיתחנו 18 הבזקי חדשות בנושאים שונים ומגוונים ואנחנו ממשיכים לעדכן את ההבזקים הקיימים ולפתח נוספים כדי להגיע ל-30 לפחות (הנה קישור לצפייה בהבזק לדוגמא – חדשות על המשחק סודוקו).

הודות למענק שקיבלנו מהאקדמיה הלאומית למדעים, בעקבות תוצאות הדוקטורט הנזכר לעיל, בדקנו בשנים 2012-2015 את יכולתם של מורים למתמטיקה בעל-יסודי להתמודד במשך שנת לימודים שלמה עם האתגר של שילוב הבזקי חדשות בכיתותיהם ואת ההשפעה על תלמידיהם. גילינו שהמורים מכירים בפערים ויש להם נכונות להשקיע בגישור עליהם. האמצעי שסיפקנו להם משרת אותם וכל מי שטבל את ידיו בעשייה, החזיר אלינו משוב נלהב. תקצר היריעה מלהביא כאן יותר מתגובה אחת:

"במצגות הושקעה חשיבה רבה על עומק ההצגה של הנושאים... הן מעניינות וקלילות, אבל גם מעוררות סקרנות ורצון להעמיק, וחושפות את התלמידים למגוון נושאים מתמטיים מרתקים ועכשוויים (המתמטיקה מאחורי חידות הסודוקו, המשפט האחרון של פרמה, בעית צבעי המפה, ועוד). התלמידים שלי היו המומים לראות שמתמטיקאים מגישים לפעמים הוכחות עם טעות - זה נתן להם לגיטימציה לטעות בלי להתמוטט מזה... הם גילו (להפתעתם הרבה!) שמתמטיקה היא תחום מתפתח ולא אוסף ידוע וסגור של כמה אלפי נוסחאות שפותחו מזמן. והכי חשוב - הם מבינים שהעבודה של מתמטיקאי היא קודם כל להעלות שאלות, ואז לנסות לענות עליהן... ההשתלמות היא מפגש מעניין כשלעצמו, ולאחריה נותר למורה רק לקרוא, להנות, ולתכנן קצת את הזמן כדי לפנות 20 דקות פעם בחודש - ולהנות שוב עם התלמידים." אורית ישק, בית הספר הדמוקרטי, כפר סבא, אפריל 2016

הודות לתמיכת מפמ"ר מתמטיקה והצוות שלה, פרויקט ההבזקים זכה לאחרונה למענק ממשרד המדע למחקר אורך תלת-שנתי, לבדיקת ההשפעה המצטברת של חשיפה להבזקי חדשות על תלמידי החטיבה העליונה – ללא הבדל ברמת יחידות הלימוד(!). כולם זכאים לעמוד על טבעה האמיתי של המתמטיקה ולפתח גישה אוהדת להישגיה.  

הצטרפו אל המורים ש"הרימו את הכפפה" – מהרו, ההרשמה פתוחה רק עד 31.5.2016

להרשמה להשתלמות קיץ 2016

החזון

התלמידים (בנים ובנות בכל הרמות) יפתחו תפיסות ריאליות על:

• עבודת המתמטיקאים
• טבעה של המתמטיקה כמקצוע חי תוסס ומתחדש
• יכולותם לעסוק בבגרותם בתחומים תלויי מתמטיקה

המורים

• יהפכו לקהילייה מתוקשרת שלא רק לומדת ומלמדת, אלא גם יוצרת הבזקים חדשים
• יחושו גאווה מקצועית על היותם נציגי הקהילייה המתמטית בפני תלמידיהם
• תואט שחיקתם המקצועית, הודות למעורבותם בלימוד הדברים וביצירה המשותפת

הזדרזו להירשם ותוכלו ליצור תחושה חדשה בכל הנוגע למתמטיקה אצל תלמידיכם!

 --

מאת: פרופ' נצה מובשוביץ-הדר, 

"קשר חם" – מרכז מו"פ לקידום, שיפור וריענון החינוך המתמטי בישראל, הטכניון